Perkalian Matriks

A.   Perkalian Skalar Matriks

Perkalian matriks dengan suatu bilangan asli k adalah penjumlahan berulang matriks tersebut sebanyak k kali. Dengan kata lain, jika k bilangan real dan A adalah matriks yang berordo m x n, maka kA didefinisikan sebagai berikut:

Contoh:

Sifat-sifat Perkalian Skalar Matriks:

1. 

B.    Perkalian Dua Matriks

Syarat agar dua matriks A dan B dapat dikalikan adalah banyak kolom matriks A harus sama dengan banyak baris matriks B. Jika A adalah matriks berordo m x q dan B adalah matriks berordo q x n, maka A x B adalah suatu matriks C berordo m x n yang elemen-elemennya diperoleh dari penjumlahan hasil kali elemen-elemen pada baris ke-I matriks A dengan elemen-elemen pada kolom ke-j matriks B yang bersesuaian, dengan i = 1, 2, 3, …, m dan j= 1, 2, 3, …, n.

Contoh 1:

Contoh 2:

Contoh 3:

Penjumlahan dan Pengurangan Matriks

Penjumlahan atau pengurangan matriks dapat ditentukan dengan mengoperasikan elemen-elemen yang bersesuaian dari matriks yang dijumlahkan atau dikurangkan. Matriks-matriks yang dapat dijumlahkan atau dikurangkan adalah matriks-matriks yang memiliki ordo sama, sehingga setiap elemen dari matriks yang satu memiliki elemen yang bersesuaian dengan matriks yang lainnya. Hal ini akan menghasilkan matriks baru yang memiliki ordo yang sama dari matriks-matriks yang dijumlahkan atau dikurangkan. Sebagai catatan, a_ij merepresentasikan elemen dari suatu matriks, sedangkan [a_ij] merepresentasikan keseluruhan dari matriks.

Penjumalahan dan Pengurangan Matriks

Diberikan matriks-matriks A, B, C, dan D yang memiliki ordo sama.
A + B = C dimana [a_ij + b_ij] = [c_ij],
A – B = D dimana [a_ij – b_ij] = [d_ij].

Contoh:  Hitunglah penjumlahan dan pengurangan dari matriks-matriks berikut.

1.       A + C

2.      A + B

3.      C – A

 Penyelesaian:

1.       Matriks A dan matriks C memiliki ordo yang sama, yaitu 3 × 2. Sehingga kedua matriks tersebut dapat dilakukan operasi penjumlahan sebagai berikut.

2.      Karena matriks A dan B tidak memiliki ordo yang sama, maka operasi penjumlahan tidak dapat dilakukan pada kedua matriks tersebut.

3.      Pengurangan matriks C oleh A dapat dilakukan karena ordo dari kedua matriks tersebut sama. Berikut pengurangan dari kedua matriks tersebut.

Karena penjumlahan dari matriks didefinisikan sebagai penjumlahan dari elemen-elemen yang bersesuaian, maka sifat-sifat dari penjumlahan bilangan real berlaku pada penjumlahan matriks.

Sifat-sifat Penjumlahan Matriks

Diberikan matriks-matriks A, B, C, dan Z yang berordo m × n, dengan Z adalah matriks nol. Maka:
A + B = B + A (sifat komutatif)
(A + B) + C = A + (B + C) (sifat asosiatif)
A + Z = Z + A = A (Z adalah identitas penjumlahan)
A + (– A) = (–A) + A = Z (–A merupakan invers penjumlahan dari A)

Kesamaan Dua Matriks

Dua matriks A dan B dikatakan sama apabila kedua matriks tersebut berordo sama dan elemen-elemen yang seletak bernilai sama.

Contoh:

Transpose Matriks

Transpose dari suatu matriks A adalah  suatu matriks yang elemen barisnya merupakan elemen kolom dari matriks A dan elemen kolomnya merupakan elemen baris dari matriks A.

Karena adanya pertukaran baris dan kolom, ordonya pun berubah. Jika matriks A mempunya ordo m x n, maka transpose matriks A mempunyai ordo n x m. Namun jika matriks A adalah matriks persegi, ordonya tidak berubah.

Suatu matriks jika ditranpos dua kali maka akan kembali ke matriks semula.

Lambang dari tranpos matriks A adalah AT.

Sifat-sifat Transpose Matriks:

Contoh transpose matriks:

Jenis-jenis Matriks

Matriks Persegi
Matriks Persegi adalah suatu matriks yang banyak barisnya sama dengan banyak kolomnya. Jika banyaknya baris adalah n, maka banyaknya kolom adalah n juga. Sehingga ordo dari matriks persegi adalah n x n. Contoh:

Matriks Baris
Matriks Baris adalah matriks yang hanya terdiri atas satu baris saja. Contoh:

Matriks Kolom
Matriks Kolom adalah matriks yang hanya terdiri atas satu kolom saja. Contoh:

Matriks Diagonal
Matriks Diagonal adalah matriks persegi dengan setiap elemen yang tidak terletak pada diagonal utama adalah nol. Contoh:

Matriks Satuan
Matriks Satuan adalah suatu matriks diagonal dengan setiap elemen diagonal utama adalah 1. Matriks satuan biasanya dilambangkan dengan I. Contoh:

Matriks Nol
Matriks Nol adalah suatu matriks yang setiap elemennya adalah nol. Matriks nol biasanya dilambangkan dengan O. Contoh:

Konsep Matriks

Pengertian Matriks

Matriks adalah susunan berbentuk persegi atau persegi panjang dari bilangan-bilangan yang disusun menurut baris dan kolom serta ditempatkan dalam tanda kurung (kurung biasa atau kurung siku).

Suatu matriks dinyatakan dengan huruf kapital, seperti A, B, C, D, dan seterusnya. Bilangan-bilangan yang terdapat dalam matriks disebut elemen matriks. 

Contoh matriks:

Ordo Matriks

Ordo matriks adalah ukuran suatu matriks yang dinyatakan dengan banyak baris kali banyak kolom.

Jika suatu matriks A mempunyai m baris dan n kolom, maka ordo dari matriks tersebut adalah m x n.

Contoh:

Ordo dari matriks A di atas adalah 2 x 3.

Jangan sampai terbalik dalam membaca ordo matriks, ingatlah bahwa ordo matriks adalah banyaknya baris dikali dengan banyaknya kolom.

Diagonal Utama dan Diagonal Sekunder pada Matriks

Di dalam materi mengenai matriks juga dikenal istilah diagonal. Ada dua jenis diagonal di dalam matriks yaitu diagonal utama dan diagonal sekunder. Diagonal utama merupakan garis miring yang ditarik dari sisi kiri atas matriks menuju sisi kanan bawah matriks. Sementara diagonal sekunder adalah kebalikannya. Seperti bisa dilihat pada gambar berikut: